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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    仔细想一想，聪明的你一定能完成下列问题．
    阅读下列材料：
    ∵
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )=
    1
    1×3
    ，
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )=
    1
    3×5
    ，
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )=
    1
    5×7
    ，…，
    1
    2
    (
    1
    99
    -
    1
    101
    )=
    1
    99×101
    ，
    ∴
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    99×101
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    99
    -
    1
    101
    )    =
    1
    2
    (1-
    1
    101
    )    =
    50
    101
    ．
    回答下列问题：
    （1）在和项
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…    中第7项是
     
    ，第n项是
     
    ；
    （2）你能运用类似方法求出
    1
    2×4
    +
    1
    4×6
    +
    1
    6×8
    …+
    1
    2006×2008
    的值吗？请你试一试；
    （3）若αn、βn（其中n为不小于3的正整数）满足αn+βn=-（2n+1），αn•βn=n2，请你运用上述知识求
    1
    (α3+1)(β3+1)
    +
    1
    (α4+1)(β4+1)
    +…+
    1
    (α100+1)(β100+1)
    的值．
    分析：（1）观察前边式子的规律，可以看到：分母是连续的两个奇数相乘．对应的第n个式子的分母是（2n-1）（2n+1）；
    （2）观察分母的规律，发现分母正好是两个连续的偶数，相差是2．所以拆开的时候，相当于扩大了2倍，应再除以2．然后运用抵消的规律，进行计算；
    （3）运用整式乘法计算分母，发现：对应的分母是n2-（2n+1）+1=n（n-2），运用上述方法就可计算．
    解答：解：（1）根据题意，是连续奇数列，
    n=7时，2n-1=7，所以第7项是
    1
    13×15
    ，第n项是
    1
    (2n-1)(2n+1)
    ；（2分）

    （2）原式=
    1
    2
    （
    1
    2
    -
    1
    4
    +
    1
    4
    -
    1
    6
    +…+
    1
    2006
    -
    1
    2008
    ）
    =
    1
    2
    ×（
    1
    2
    -
    1
    2008
    ）
    =
    1
    2
    ×
    1003
    2008

    =
    1003
    4016
    ；（2分）

    （3）原式=
    1
    3×1
    +
    1
    2×4
    +
    1
    3×5
    +…+
    1
    98×100

    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    98
    -
    1
    100
    )
    =
    1
    2
    （1-
    1
    100
    ）
    =
    99
    200
    ．（4分）
    点评：熟练运用分式的拆分进行计算，尤其注意（3）小题综合了上述两种情况的规律，分别搭配计算．
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    仔细想一想，聪明的你一定能完成下列问题．
    阅读下列材料：
    ∵数学公式，数学公式，数学公式，…，数学公式，
    ∴数学公式=数学公式=数学公式．
    回答下列问题：
    （1）在和项数学公式中第7项是______，第n项是______；
    （2）你能运用类似方法求出数学公式的值吗？请你试一试；
    （3）若αn、βn（其中n为不小于3的正整数）满足αn+βn=-（2n+1），αn•βn=n2，请你运用上述知识求数学公式的值．

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