Question

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，E是DA延长线上一点，AB²=AE•BC，BE和CA的延长线交于点F．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BC=18，CD=12，AF=16，求BE和AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OA，OB，由三角形相似证明∠1=∠2，再证∠EBO=90，即可证BE是⊙O的切线，
（2）首先由AD∥BC，求出AB、CD，由三角形相似，求出FC，由（1）知△ABC∽△EAB，求出EB，进而求出ED、AB．

解答：（1）证明：连接OA，OB，
∵AD∥BC，∠ABC=∠EAB，
∵AB²=AE•BE，∴

AB

AE

=

BC

AB

，∴△ABC∽△EAB
∴∠1=∠2（2分）
∵OA=OB，∴∠3=∠BAO，
∴∠O+2∠3=180°
又∵∠O=2∠2，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°
∴∠EBO=90°，∴OB⊥BF（4分）
又B点在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线（5分）

（2）解：∵AD∥BC，AB=CD，
∴AB=CD=12，
∵AB²=AE•BC，∴AE=

AB2

BC

=

144

18

=8
∵AD∥BC，∴△EFA∽△FBC，∴

AE

BC

=

FA

FC

∴FC=

FA×BC

AE

=36，∴AC=20（7分）
由（1）知△ABC∽△EAB，∴

EB

AC

=

AE

AB

，∴EB=

20×8

12

=

40

3

由△EBA∽△EBD（或由切割线定理）得EB²=EA•ED，∴ED=

200

9

∴AD=ED-EA=

128

9

（9分）
综上，EB=

40

3

，AD=

128

9

为所求．（10分）

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．