Question

能否将1，2，3…，12这12个正整数分成两组，使得其中第一组有3个数，第二组有9个数，并且第一组中3个数的积恰好等于第二组中9个数之和？若能，请给出所有的分组方法；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：设第一组中的三个数为a、b、c（a＜b＜c），然后可得出第二组中九个数的和为：

1

2

×12×13-（a+b+c）=78-（a+b+c），从而得出abc+a+b+c=78，结合a＜b＜c可得出a的范围，分别讨论a的值即可得出可能的答案．

解答：解：设第一组中的三个数为a、b、c（a＜b＜c），则第二组中九个数的和为：

1

2

×12×13-（a+b+c）=78-（a+b+c）．
∴abc+a+b+c=78①，
由a＜b＜c及①得：a³+3a+3＜78，
解得：0＜a＜4，
当a=1时，由①得bc+b+c+1=（b+1）（c+1）=78=6×13，
解得a=1，b=5，c=12，
当a=2时，由①得2bc+b+c+2=（2b+1）（2c+1）=9×17，
解得a=2，b=4，c=8，
当a=2时，由①得3bc+b+c+3=78，即（3b+1）（3c+1）=226，
此时无解．
综上所述共有两种方法：
第一种：当第一组的三个数为1，5，12时，第二组的九个数为2，3，4，6，7，8，9，10，11．
第二种：当第一组的三个数为2，4，8时，第二组的九个数为1，3，5，6，7，9，10，11，12．

点评：本题考查了整数问题的综合运用，难度较大，解答本题的关键根据题意得出a的取值范围，然后分类讨论a的取值．