Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（12，0），点B的坐标为（6，8），点C在y轴的正半轴上．动点Q在OA上运动，从O点出发到A点，速度是每秒2个单位长度；动点P在AB上运动，从A点出发到B点，速度是每秒1个单位长度，两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）当点P运动至AB的中点时，求点P坐标；
（2）当t为何值时，QP⊥CQ？
（3）当t为何值时，△CPQ的面积有最大（小）值？并求出最大（小）值．

Answer 1

分析：（1）作辅助线，根据题意即可得出点P坐标；
（2）易得△MBA∽△NPA，利用相似三角形的对应边成比例得出的等量关系即可得出此时t的值；
（3）由于三角形CPQ的面积无法直接求出，因此可用其他图形的面积的“和，差”关系来求．△CPQ的面积=梯形ABCD的面积-△OCQ的面积-△AQP的面积-△PCB的面积．可据此来得出S，t的函数关系式．然后根据函数的性质即可得出S的最小值．

解答：解：作PG⊥OC于G、BM⊥OA于M、PN⊥OA于N，
延长NP交CB于H，得PG∥ON，BM∥PN，PH⊥BC．

（1）∵当点P运动至AB的中点时，
∴AP=BP，CG=OG，
∴PG=

1

2

（CB+OA）=9，PN=

1

2

BM=4，
∴点P坐标为（9，4）；

（2）∵BM=8，AM=6，
∴AB=10，
又∵BM⊥MN，
∴△MBA∽△NPA，
可得AN=

3

5

t，PN=

4

5

t，
若QP⊥CQ，则应有△OCQ∽△NQP，
∴

2t

4 5 t

=

8

12- 3 5 t-2t

，
得t=

44

13

（秒），
当t=

44

13

s时，QP⊥CQ；

（3）设△CPQ的面积为S，
S=S_梯形ABCD-S_△OCQ-S_△AQP-S_△PCB
=72-

1

2

×8×2t-

1

2

（12-2t）

4

5

t-

1

2

×6×（8-

4

5

t）
=

4

5

t²-

52

5

t+48
=

4

5

(t-

13

2

)2+

71

5

∵0＜t≤6，
∴当t=6s时，△CPQ的面积取得最小值为

72

5

．

点评：本题结合了梯形的性质考查了二次函数的综合应用，利用数形结合的思想进行求解是解题的基本思路，难度适中．