Question

【题目】已知抛物线的顶点为，且过点.直线与轴相交于点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）以线段为直径的圆与射线相交于点，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）先设出抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入可得出结果；

（2）先求出射线的解析式为，可设点P的坐标为(x,x)．圆与射线OA相交于两点，分两种情况：①如图1当时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解；②如图2，当时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解．

解：（1）根据顶点设抛物线的解析式为：，

代入点，得：，

抛物线的解析式为：．

设直线的解析式为：，

分别代入和，

得：，

直线的解析式为：；

（2）由（1）得：直线的解析式为，

令，得，

由题意可得射线的解析式为，

点在射线上，则可设点，

由图可知满足条件的点有两个：

①当时，构造和，

可得：如图1：

由图可得，，，

．

在Rt△PMD中，,

在Rt△PBG中，,

在Rt△BMH中，,

点在以线段为直径的圆上,，

可得：,

即：．

整理，得：

，解得：；

,．

;

②当时，如图2，构造和，可得：

同理，根据BM2=BP2+PM2，可得方程：

42+42=(6-x)2+x2+(x-2)2+(x-4)2,化简得，

，解得：，

∵．

．

综上所述，符合题目条件的点有两个，其坐标分别为：或．