Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．

（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

Answer 1

【答案】(1)作图见解析（2）10+.

【解析】分析：（1）垂直平分线的尺规作图方法：先以A为圆心，以大于线段AC一半的长度画弧，然后再以C为圆心，以相同长度为半径画弧，两条圆弧交于两点，连接该两点的直线即为线段AC的垂直平分线。（2）先化简，然后利用三角形的周长求出a，最后代入即可求得T的值。

详解：（1）如图所示，DE即为所求；

（2）由题可得，AE=AC=，∠A=30°，

∴Rt△ADE中，DE=AD，

设DE=x，则AD=2x，

∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，

解得x=1，

∴△ADE的周长a=1+2+=3+，

∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，

∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．