Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．

（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为，当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）当时，PB最短；（3）抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.

解析试题分析：解：（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），∴, ,
∴所在直线的函数解析式为. 2分
（2）∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为
∴当时，（0≤≤2）.
∴， 又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短.         6分
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.
假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，
∴，∴，∴点的坐标是（0，）.
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.  7分
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，
∴、E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得：，.
代入