Question

汉口江滩有一个大型的圆形底面的喷水池，水池正中央装有一根高米的水管，水管顶端装有一个喷水头，已知喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3米处达到最高高度为米，
（1）请建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0，），水柱的最高点的坐标为（3，），求此坐标系中抛物线对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装了喷水龙头，相邻轨道之间的宽度为l米，最内轨道的半径为r米，其上每1.2米的弧长上装有一个喷水龙头，其他轨道上的喷水龙头个数与最内轨道上的个数相同．（1）中水柱落地处刚好在最外轨道上，求当r为多少时，水池中安装的喷水龙头的个数最多？

Answer 1

解：（1）如图，依题意建立平面直角坐标系，
∵点（1，3）为抛物形水柱的顶点，
∴设抛物线解析式为y=a（x-3）²+，将点（0，）代入，得
=a（0-3）²+，
解得a=-，
因此，抛物形水柱对应的函数关系式为：y=-（x-3）²+；

（2）当y=0时，-（x-3）²+=0，
解得x₁=-，x₂=，
根据实际，x=-舍去，
所以，x=，即水柱落地点离池中心m，
设池中安装水龙头m个，依题意得
m=•，即m=π（6.5r-r²）=-π（r-）²+π，
所以当r=时，池中安装的水龙头的个数最多．
分析：（1）根据题意确定抛物线的顶点坐标为（3，），设抛物线解析式为y=a（x-3）²+，根据水柱高为米，将点（0，）代入抛物线解析式求a即可；
（2）根据（1）中求出的抛物线解析式求水柱落地点离池中心的距离，根据池中安装水龙头的个数m=内圈装水龙头的个数×圈数，列出函数关系式，根据二次函数的性质求最大值．
点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意设抛物线解析式，根据条件求抛物线解析式，再列出池中安装水龙头个数的函数关系式．