Question

如图，点P在双曲线y=

k

x

（k．＞0）第一象限内的分支上运动，以P为圆心的圆保持与y轴相切于点A，与双曲线交于点B，点B在点P上方．
（1）当点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，

3

），试求双曲线y=

k

x

的解析式；
（2）切点A是否有可能与坐标原点O重合？
（3）在（1）的条件下，是否存在点P，使得△ABP为正三角形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，

3

），可得点P的坐标为：（2，

3

），然后由待定系数法即可求得双曲线y=

k

x

的解析式；
（2）利用反证法，若切点A与坐标原点O重合，可得即点P在x轴上，又由反比例函数与x轴不相交，可得切点A不能与坐标原点O重合；
（3）设点P的坐标为：（a，

2 3

a

），由△ABP为正三角形，可求得点B的坐标为：（

1

2

a，

3

2

a+

2 3

a

），又由点B在双曲线y=

2 3

x

上，即可得方程

1

2

a×（

3

2

a+

2 3

a

）=2

3

，解此方程即可求得a的值，继而求得答案．

解答：解：（1）∵点P的横坐标为2时，⊙P与y轴的切点A（0，

3

），
∴点P的坐标为：（2，

3

），
∴

3

=

k

2

，
∴k=2

3

，
∴双曲线y=

k

x

的解析式为：y=

2 3

x

；

（2）切点A不能与坐标原点O重合．
理由：若切点A与坐标原点O重合，
则点P的纵坐标为0，
即点P在x轴上，
∵反比例函数与x轴不相交，
∴点P不能在x轴上，
∴切点A不能与坐标原点O重合；

（3）存在．
理由：设点P的坐标为：（a，

2 3

a

），
则AP=a，
过点B作BC⊥AP于点C，
∵△ABP为正三角形，
∴AC=

1

2

AP=

1

2

a，∠BAP=60°，
在Rt△BAC中，BC=AC•cos∠BAP=

1

2

a×

3

=

3

2

a，
∴点B的坐标为：（

1

2

a，

3

2

a+

2 3

a

），
∵点B在双曲线y=

2 3

x

上，
∴

1

2

a×（

3

2

a+

2 3

a

）=2

3

，
解得：a²=4，
∴a=±2．
∵点P在第一象限，
∴a=2，
∴点P的坐标为：（2，

3

）．

点评：此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、切线的性质、正三角形的性质以及点与反比例函数的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．