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    【题目】如图，在ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6cm，点M从点A出发沿AB方向以每秒一个单位长的速度向点B匀速运动，与此同时点N也从点A出发沿AC方向以相同的速度向点C匀速运动，过点N作DN∥AB，交BC于点D，连接MD，设运动的时间是t秒().

    (1)填空：____________；

    (2)是否存在某一时刻，使得四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积比为4：9，若存在求值，若不存在请说明理由；

    (3)当为何值时，ΔMND为等腰三角形?请直接写出符合条件的值.

    【答案】(1) ;(2) 2s或4s;(3)见解析.

    【解析】

    （1）由∠BAC=120°，AB=AC=6cm，可以得到ΔBAC为等腰三角形，并且，高是，通过计算即可.

    （2）作AE⊥MN于E，MF⊥BC于点F，则可以通过求证四边形MBDN是平行四边形，得出AE，MN，MF的长，并根据四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积的比为4：9，

    则，化简即可得.

    （3）当ΔMND为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当MD=MN时，②当ND=MN时，③当MD=ND时，利用（1）和（2）中的已知和已证条件求解.

    解：(1) ∵∠BAC=120°，AB=AC=6cm，

    ∴ΔBAC为等腰三角形，

    ∴∠B=30°

    ∴

    .

    (2)依题意，得

    AM=AN=t

    ∴∠AMN=∠ANM=30°

    ∵AB=AC

    ∴∠B=∠C=30°

    ∴∠AMN∠B

    ∴NN∥BC

    ∵ND∥BM

    ∴四边形MBDN是平行四边形(另法：证明DN∥BM，DN=BM也可)

    作AE⊥MN于E

    ∴ME=NE=MN

    ∵∠AME=30°

    ∴AE=AM=t，ME=AE=

    ∴MN=2ME=

    作MF⊥BC于点F，∠B=30°

    ∴MF=BM=

    若四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积的比为4：9，

    则

    即：

    ∴，

    故当t=2s或4s时，四边形MBON的面积与三角形ABC的面积的比为4：9.

    (3)

    由（1）可知：ΔBAC为等腰三角形，∠B=30°，

    ∵DN∥AB

    ∴ΔDNC为等腰三角形，

    ∴CN=DN=6-t，

    由（2）可知：MN=，NN∥BC

    ∴∠MND=∠NDC=30°

    ①如图示，当MD=MN时，ΔMND为等腰三角形，

    ∴

    即：

    ∴

    ②如图示，当ND=MN时，ΔMND为等腰三角形，

    即：

    ∴

    ③如图示，当MD=ND时，ΔMND为等腰三角形，

    ∴

    即：

    ∴.

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    小青：；小何：四边形DFBE是正方形；

    小夏：；小雨：．

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