Question

（2012•杨浦区二模）如图，已知：正方形ABCD中，AB=8，点O为边AB上一动点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边CD于点F．设BO=x，AE=y．

（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；
（3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）OB、OE均是⊙O的半径，得出OB=OE，然后在RT△AOE中，运用勾股定理可得出y与x的关系式，结合二次根式有意义的条件，可得出x的范围；
（2）先判断△AOE∽△DEF，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△DEF周长的表达式，进一步化简可得出答案；
（3）设⊙O的半径R₁=x，则⊙A的半径R₂=8-x，圆心距d=OA=8-x，分三种情况讨论，依此解出x的范围即可．

解答：解：（1）∵以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E，
∴OB=OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴AO²+AE²=OE²，即（8-x）²+y²=x²，
∵y＞0，
∴y=4

x-4

（4＜x＜8）；

（2）△EFD的周长不变．理由如下：
∵EF⊥OE，
∴∠AEO+∠DEF=90°，
∵∠D=∠A=90°，
∴∠AEO+∠AOE=90°，
∴∠DEF=∠AOE，
∴△AOE∽△DEF，
∴

C△AOE

C△DEF

=

AO

ED

，即

8+y

C△DEF

=

8-x

8-y

，
∴C_△DEF=

64-y2

8-x

=

64-16x+64

8-x

=

16(8-x)

8-x

=16；

（3）设⊙O的半径R₁=x，则⊙A的半径R₂=8-x，圆心距d=OA=8-x，
∵4＜x＜8，
∴R₁＞R₂，
因为点A始终在⊙O内，所以外离和外切都不可能；
①当⊙O与⊙A相交时，R₁-R₂＜d＜R₁+R₂，即x-8+x＜8-x＜x+8-x，
解得：0＜x＜

16

3

，
故可得此时：4＜x＜

16

3

；
②当⊙O与⊙A内切时，d=R₁-R₂，即8-x=x-8+x，
解得：x=

16

3

；
③当⊙O与⊙A内含时，0＜d＜R₁-R₂，即0＜8-x＜x-8+x，
解得：

16

3

＜x＜8．

点评：此题属于圆的综合题目，涉及了圆与圆的位置关系判断、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，整体难度较大，其实第二问和第三问是独立的，分别考查不同的知识点．