Question

关于x的方程x²-（2a-1）x+（a-3）=0．
（1）求证：无论a为任何实数，该方程总有两个不等实数根；
（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为

35

2

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）求证：无论a为任何实数，该方程总有两个不等实数根，只要证明根的判别式△＞0即可；
（2）根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知该三角形斜边上的中线长为

35

2

，即已知直角三角形斜边的长是

35

，即两直角边的平方和是35，利用勾股定理结合根与系数的关系，即可得到关于a的方程，求出a的值．

解答：（1）证明：∵△=（2a-1）²-4（a-3）=4a²-4a+1-4a+12=4a²-8a+4+9=4（a-1）²+9＞0，
∴无论a为任意实数，方程总有两不等实数根．

（2）解：由题意得：x₁²+x₂²=35，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=35
∵x₁+x₂=2a-1，x₁x₂=a-3，
∴（2a-1）²-2（a-3）=35，
解得a=-2或

7

2

．
由于方程的两根是三角形的边长，则两根之和2a-1＞0且a-3＞0
则a＞3
∴a=

7

2

答：实数a的值是

7

2

．

点评：本题解决的关键是依据直角三角形的性质，由已知斜边上的中线长为

35

2

，能转化为方程的根的关系，从而转化为解方程的问题求解．