Question

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=-2与x轴交于点C，直线y=-2x+1经过抛物线上一点B（2，m），且与y轴．直线x=-2分别交于点D、E．
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点B（2，m）在直线y=-2x+1上，
∴m=-2×2+1=-3，
∴B（2，-3）
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=-2，
∴点A的坐标为（-4，0）
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x-0）（x+4），将点B（2，-3）代入上式，
得-3=a（2-0）（2+4），
∴a=-，
∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=-（x+4），
即y=-x²-x．

（2）①△CBE为等腰三角形
∵直线y=-2x+1与y轴、直线x=-2的交点坐标分别为D（0，1），E（-2，5）、过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=-2交于G，
∴BG⊥直线x=-2，BG=4、
在Rt△BGC中，BC==5．
∵CE=5，
∴CB=CE=5，
∴△CBE为等腰三角形．
②CD⊥BE
过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H（0，5），
又∵点F、D的坐标为F（0，-3）、D（0，1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°
∴△DFB≌△DHE（SAS），
∴BD=DE，即D是BE的中点，
∴CD⊥BE

（3）存在
∵PB=PE，
∴点P在直线CD上，
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，将D（0，1）C（-2，0）代入，
得．
解得k=，b=1
∴直线CD对应的函数关系式为y=x+1，
∵动点P的坐标为（x，-），
∴x+1=-x²-x
解得x₁=-3+，x₂=-3-，
∴y₁=，y₂=．
∴符合条件的点P的坐标为（-3+，）或（-3-，）．
分析：（1）根据抛物线的对称轴为x=-2，且过O、A两点，因此A点的坐标为（-2，0）．可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后根据直线y=-2x+1求出B点的坐标，将B点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）①可根据抛物线的解析式求出D，E点的坐标，进而可求出△CBE三边的长，可据此来进行判断△CBE的形状．
②应该是CD⊥EB，可过E、B作y轴的垂线通过证三角形全等来得出D是BE中点，然后根据等腰三角形三线合一的特点来得出CD⊥EB的结论．
（3）由题意可知：P点必为线段BE垂直平分线与抛物线的交点，可先求出线段BE的垂直平分线，然后联立抛物线的解析式，即可求出符合条件的P点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、等腰三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．