Question

如图a，已知△PQR中，∠P=120°，PQ=PR，以QR所在直线为x轴，底边上的高PO所在的直线为y轴建立直角坐标系，函数经过PR的中点M．

（1）求点M、P、Q的坐标．
（2）求直线MQ的解析式．
（3）如图b，在y轴的左侧放入一个梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，点C与点Q重合，BC边在x轴上，且BC=8，AD与AB的长恰好是方程x²-8x+16=0的两根，当梯形ABCD以每秒2个单位长度向右平移时，t秒时梯形ABCD与△PQR重合的面积为S，求当0＜t≤10时，S与t的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵∠P=120°，PQ=PR，
∴∠OPQ=60°，OQ=OR，
设OP=a，
则OQ=OR=OP•tan60°=a，
∵M是PR的中点，
∴点M的坐标是（a，a），
∵函数y=x²经过点M，
∴（a）²=a，
解得a=2，
∴点M、P、Q的坐标分别为M（3，），P（0，2），Q（-6，0）；

（2）设直线MQ的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线MQ的解析式是y=x+；

（3）由x²-8x+16=0可得（x-4）²=0，
解得x₁=x₂=4，
∴AD=AB=4，
过点A作AE∥CD，
则四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=4，AE=DC，
∵BC=8，AB=DC，
∴BE=8-4=4，
∴AB=BE=AE=4，
∴∠B=60°，
∴点A到BC的距离为：4sin60°=4×=2，
∴当点B与点Q重合时，点D与点P重合，
①如图1，当0＜t≤4时，重叠部分是三角形，
此时，CQ=2t，
∴h+h=CQ，
解得h=CQ=t，
∴重叠部分的面积为S=×CQ•h=×2t×t=t²，
②如图2，当4＜t＜6时，重叠部分是五边形，
此时QB=2t-8，CR=12-2t，
∵∠OPQ=∠OPR=60°，
∴∠PQO=∠PQO=30°，
又∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴∠PQO=∠BEQ=30°，∠PRO=∠CFR=30°，
∴BQ=BE，CF=CR，
重叠部分的面积=S_△PQR-S_△BQE-S_△CRF=×12×2-×（2t-8）×（8-2t）-×（12-2t）×（12-2t），
=12-（t-4）²-（6-t）²，
=-2t²+20t-40；
③如图3，当6≤t≤10时，重叠部分是三角形，
此时CR=2t-12，
∴BR=BC-CR=8-（2t-12）=20-2t，
同①可得h=BR=（10-t），
∴S=×（20-2t）×（10-t），
=（10-t）²，
=t²-10t+50，
综上所述，S与t的函数关系式为S=．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质求出△POQ是∠OPQ=60°的直角三角形，设OP的长为a，则OQ=OR=a，然后根据点M是PR的中点表示出点M的坐标，再代入函数解析式求解即可；
（2）根据点MQ的坐标，利用待定系数法列式进行计算即可求解；
（3）先解方程求出AD、AB的长度，然后判断出梯形ABCD是下底底角是60°的等腰梯形，然后分①0＜t≤4时，重叠部分是三角形，②4＜t＜6时，重叠部分是五边形，③6≤t≤10时，重叠部分是三角形，三种情况分别作出图形，进行求解．
点评：本题综合考查了二次函数的问题，等腰三角形的性质，待定系数法求直线解析式，梯形的求解，以及动点问题的求解，动点问题一定要注意根据转折点进行分段求解．