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    如图，抛物线y=-x2+2mx+m+2的图象与x轴交于A（-1，0），B两点，在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E，F两点，E在F的左侧，过E，F分别作x轴的垂线，垂足是M，N．
    （1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
    （2）设BN=t，矩形EMNF的周长为C，求C与t的函数表达式；
    （3）当矩形EMNF的周长为10时，将△ENM沿EN翻折，点M落在坐标平面内的点记为M'，试判断点M'是否在抛物线上？并说明理由．
    （1）由于抛物线过点A（-1，0），
    于是将A代入y=-x2+2mx+m+2
    得-1-2m+m+2=0，
    解得m=1，
    函数解析式为y=-x2+2x+3，
    解析式可化为y=-（x-1）2+4，顶点纵坐标为（1，4）．

    （2）因为函数解析式为y=-x2+2x+3，
    所以当y=0时可得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
    则AB=3-（-1）=4．
    又因为BN=t，M、N关于对称轴对称，
    所以AM=t．于是MN=4-2t，
    N点横坐标为3-t，代入抛物线得：yF=-t2+4t．
    于是C=2（4-2t）-2（t-2）2+8，
    整理得C=-2t2+4t+8；

    （3）当-2t2+4t+8=10时，解得t=1，MN=4-2t=4-2=2；
    FN=-12+4=3，因为t=1，所以M与O点重合，连接MM'、EN，
    且MM'和E相交于K，根据反折变换的性质，MK=M'K．
    根据同一个三角形面积相等，2×3=
    		22+32
    •MK
    于是MK=
    6
    		13
    13
    ，MM'=
    12
    		13
    13

    作M'H⊥MN的延长线于H．
    设NH=a，HM′=b，
    于是在Rt△NHM'和RT△MHM'中，
    a2+b2=4
    (a+2)2+b2=(
    16
    		13
    13
    )    2
    ，
    解得a=
    10
    13
    ，b=
    24
    13
    ．
    于是MH=2+
    10
    13
    =
    36
    13
    ．
    M'点坐标为（
    36
    13
    ，
    24
    13
    ），
    代入函数解析式y=-x2+2x+3，y=-x2+2x+3=-（
    36
    13
    ）2+2×
    36
    13
    +3=
    147
    169
    ≠
    24
    13
    ，点M'不在抛物线上．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A（-1，0），顶点为B．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）若点C的坐标为（4，0），连接BC，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．当点D在直线AE上，且满足DE=1时，求点D的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线y=ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
    （3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC=90°，请直接写出实数m的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：抛物线y=-x2+（2m+2）x-（m2+4m-3）
    （1）抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围；
    （2）当m为不小于零的整数，且抛物线与x轴的两个交点是整数点时，求此抛物线的解析式；
    （3）若设（2）中的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点中右侧的交点为B，M为y轴上一点，且MA=MB，求M的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=ax2+bx经过点A（-3，-3）和点P（t，0），且t≠0．
    （1）若t=-4，求抛物线的解析式，并指出此时抛物线的开口方向；
    （2）如图，抛物线y=ax2+bx的对称轴经过点A，观察图象并回答：
    y的最小值=______；
    t的值=______；
    当x＞-3时，y随x的增大而______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，⊙M是以点M（4，0）为圆心，5个单位长度为半径的圆．⊙M与x轴交于点A、B（A在B的左侧），⊙M与y轴的正半轴交于点C．
    求：（1）点A、B、C的坐标；
    （2）经过点A、B、C三点的抛物线的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=ax2-2ax与直线l：y=ax（a＞0）的交点除了原点O外，还相交于另一点A．
    （1）分别求出这个抛物线的顶点、点A的坐标（可用含a的式子表示）；
    （2）将抛物线y=ax2-2ax沿着x轴对折（翻转180°）后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：①当a=1时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线l上；②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点P，使点P到直线l的距离等于线段OA的
    1
    24
    ？若存在，请直接写出满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
    项目
    类别    		年固定
    成本    		每件产品
    成本    		每件产品
    销售价    		每年最多可
    生产的件数
    A产品20m10200
    B产品40818120
    其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计6≤m≤8．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
    （1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其自变量取值范围；
    （2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（　　）
    A．第11秒B．第10秒C．第9秒D．第8秒

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