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    已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0，8
    		3
    ），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的精英家教网速度沿射线OA方向移动设t（0＜t≤8）秒后，直线PQ交OB于点D．
    （1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
    （2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
    （3）当a=3，OD=
    4
    3
    		3
    时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
    （4）当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明．
    分析：（1）已知了∠AOC的度数，根据菱形的性质即可得出∠AOB=30°，连接AC交BO于M，在直角三角形OAM中，OM=
    1
    2
    OB，可根据OM的长和∠AOM的度数即可求出OA的长．
    （2）同（1）在直角三角形OAM中可求出AM和OM的长，即可得出A点的坐标．根据菱形的对称性，可知A、C关于y轴对称，由此可得出C点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
    （3）当a=3时，OQ=3t，BP=t，已知了OD的长，可求出BD的长，然后根据相似三角形BPD和OQD得出的关于BM，OM，BP，OQ的比例关系式，可求出t的值．即可按（2）的方法求出Q的坐标，用待定系数法可得出直线DQ的解析式．
    （4）本题要分情况讨论：
    ①当△ODQ∽△OBA时，PQ∥AB，四边形AQPB是平行四边形，因此BP=AQ，可据此求出a的值．
    ②当△ODQ∽△OAB时，∠ODQ=∠OAB．分两种情况：
    一：当P、B不重合时；二：当P、B重合时．
    方法一样，和（3）类似，先根据相似三角形BPD和OQD求出OD的值，然后根据相似三角形OQD和OBA求出a的值．然后进行判断即可．
    解答：精英家教网解：（1）因为四边形ABCO是菱形，∠AOC=60°，
    所以∠AOB=30°．
    连接AC交OB于M，则OM=
    1
    2
    OB，AM⊥OB
    所以AM=tan30°×OM=4．
    所以，OA=AM÷sin30°=8，

    （2）由（1）可知A（4，4
    		3
    ），B（0，8
    		3
    ），C（-4，4
    		3
    ）
    设经过A、B、C三点的抛物线为y=ax2+c
    所以16a+c=4
    		3
    ，c=8
    		3
    ，
    ∴a=-
    		3
    4

    所以经过A、B、C三点的抛物线为y=-
    		3
    4
    x2+8
    		3


    （3）当a=3时，CP=t，OQ=3t，OD=
    4
    		3
    3
    ．
    所以PB=8-t，BD=8
    		3
    -
    4
    		3
    3
    =
    20
    		3
    3

    由△OQD∽△BPD得
    BP
    OQ
    =
    BD
    OD

    即
    8-t
    3t
    =
    20
    		3
    3
    4
    		3
    3
    ，
    所以t=
    1
    2

    当t=
    1
    2
    时，OQ=
    3
    2
    ．
    同理可求Q（
    3
    4
    ，
    3
    		3
    4
    ）
    设直线PQ的解析式为y=kx+b，则
    3
    4
    k+b=
    3
    		3
    4
    ，b=
    4
    		3
    3
    ；
    所以k=-
    7
    		3
    9

    所以直线PQ的解析式为y=-
    7
    		3
    9
    x+
    4
    		3
    3
    ．

    （4）当a=1时，△ODQ∽△OBA；
    当1＜a＜3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；
    当a=1时，△ODQ∽△OBA．
    理由如下：
    ①若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此时PQ∥AB．
    故四边形PCOQ为平行四边形，
    所以CP=OQ
    即at=t（0＜t≤8）．
    所以a=1时，△ODQ∽△OBA
    ②若△ODQ∽△OAB
    （I）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD
    所以
    PB
    OQ
    =
    BD
    OD

    所以
    PB+OQ
    OQ
    =
    OB
    OD
    ，即
    8-t+at
    at
    =
    8
    		3
    OD
    ；
    所以OD=
    8
    		3
    at
    8-t+at
    ．
    因为△ODQ∽△OAB，
    所以
    OD
    OA
    =
    OQ
    OB
    即
    8
    		3
    at
    8-t+at
    8
    =
    at
    8
    		3

    ∴a=1+
    16
    t
    ．
    ∵0＜t≤8，
    ∴a＞3，不符合题意．即a＞3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△ABO不能相似；

    （II）当P与B重合时，此时D点也与B点重合．
    可知此时t=8．
    由△ODQ∽△OAB得
    OD
    OA
    =
    OQ
    OB
    ．
    所以OB2=OA×OQ．
    即（8
    		3
    ）2=8×8a
    所以a=3符合题意．
    故当a=3时△ODQ∽△OAB．
    点评：本题是点的运动性问题，考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较高．
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    16
    x
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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶
    8，9，10，11或12
    8，9，10，11或12
    个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l1：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l2：y=
    13
    x    相交于点C．
    （1）求点C的坐标；
    （2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E，交直线l2于点D，平行于y轴的直x=a交直线l1于点M，交直线l2于点N，若MN=2ED，求a的值；
    （3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012届重庆万州区岩口复兴学校九年级下第一次月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

    已知：直角梯形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图，若AC∥OB，OC平分∠AOB，CB⊥x轴于B，点A坐标为(3 ，4). 点P从原点O开始以2个单位/秒速度沿x轴正向运动 ；同时，一条平行于x轴的直线从AC开始以1个单位/秒速度竖直向下运动 ，交OA于点D，交OC于点M，交BC于点E. 当点P到达点B时，直线也随即停止运动.

    （1）求出点C的坐标；
    （2）在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形？请说明理由。若
    用y表示四边形OPEM的面积 ，直接写出y关于t的函数关系式及t的
    范围；并求出当四边形OPEM的面积y的最大值？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某个t值，使⊿MPB为等腰三角形？
    若有，请求出所有满足要求的t值.

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    科目：初中数学 来源：2013年浙江省湖州市中考数学模拟试卷（十一）（解析版） 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶______个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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