Question

已知函数y=（m-1）x²+2mx+m-1．
（1）m=

1

2

 时，函数图象与x轴只有一个交点；
（2）m为何值时，函数图象与x轴没有交点；
（3）若函数图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）令根的判别式等于0，求出m的值，即可得到结果；
（2）令根的判别式小于0即可求出m的范围；
（3）对于二次函数解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，利用根与系数的关系求出两个之和与两根之积，表示出三角形ABC的面积，根据已知面积为4即可求出m的值．

解答：解：（1）∵函数y=（m-1）x²+2mx+m-1图象与x轴只有一个交点，
∴△=4m²-4（m-1）²=4m²-4m²+8m-4=0，即m=

1

2

；
故答案为：

1

2

；
（2）∵函数与x轴没有交点，
∴△=4m²-4（m-1）²=4m²-4m²+8m-4＜0，即m＜

1

2

；
（3）对于二次函数y=（m-1）x²+2mx+m-1，
令x=0，得到y=m-1，即C（0，m-1），
令y=0，得到（m-1）x²+2mx+m-1=0，
设此方程的两根为a，b，
∴由根与系数的关系得到a+b=

2m

m-1

，ab=1，
∴AB=|a-b|=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

4m2 (m-1)2 -4

，
∵△ABC的面积为4，
∴

1

2

AB•y_C纵坐标=4，即|m-1|×

4m2 (m-1)2 -4

=8，
两边平方得：4m²-4（m-1）²=64，即8m=68，
解得：m=

17

2

．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，坐标与图形性质，求出抛物线与坐标轴的交点是解本题的关键．