Question

如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β，
（1）若α=110°，则∠A=______．
（2）若∠A=30°，则β=______．
（3）猜想并证明α与β之间的关系．

Answer 1

（1）∵α=110°，
∴∠2+∠4=180°-110°=70°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠4）=2×70°=140°，
∴∠A=180°-2（∠2+∠4）=180°-140°=40°．
故答案为：40°．

（2）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠DBC+∠ECB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-140°=220°，
∵ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β，
∴∠6+∠7=

1

2

（∠DBC+∠ECB）=

1

2

×220°=110°，
∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-110°=70°．
故答案为：70°．

（3）互补．
证明：如图所示：
∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，3=∠4，
∴α=180°-（∠2+∠4）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）①；
∵BP，CP是△ABC的外角平分线，
∴∠6+∠7=

1

2

[360°-（∠ABC+∠ACB）]=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-180°+

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（∠ABC+∠ACB）②，
①+②得，α+β=180°，
∴α与β互补．