Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且，连接OA、OF．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）80°

【解析】

（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得：，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；

（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，可求出∠ABC=4x,根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+（180-3x）=180，求出x的值，则可得∠ABC的度数．

（1）证明：∵,
∴∠CBD=∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵BE是⊙O的直径，

∴,
∴,
∴AB=BC=CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵∠AOF=3∠FOE，
设∠FOE=x，则∠AOF=3x，
∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=（180-3x）°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=2x，
∴∠ABC=4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴4x+2x+（180-3x）=180，
x=20°，

∴∠ABC=80°．