Question

【题目】问题情境：

我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？

方法探究：

用两条直角边分别为、的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，

若，可以拼成如图1的正方形，从而得到，即；

若，可以拼成如图2的正方形，从而得到，即．

于是我们可以得到结论：，为正数，总有，且当时，代数式取得最小值为．

另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论．

∵，

∴，，

∴对于任意实数，，总有，

且当时，代数式取得最小值为．

类比应用：

（1）对于正数，，试比较和的大小关系，并说明理由．

（2）填空：

当时，________．

代数式有最________值为________．

问题解决：

（3）若一个矩形的面积固定为，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值，及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）；小；；（3）若一个矩形的面积固定为，它的周长是有最小值，周长的最小值为，矩形的长和宽均为

【解析】

（1）根据探究方法中的结论，代入数据即得出结论；

（2）先将代数式－2，再＋2，根据探究方法中的结论，代入数据即得出结论；

（3）设该矩形的长为，宽为，根据，结合矩形的周长和面积公式即可得出结论．

探究方法：

（1）解：∵当，均为正数时，

∵

∴，

∴.

类比应用：

（2）结合探究方法中得出的结论可知：

当时，，代数式有最小值为.

（3）问题解决：

解：设该矩形的长为，宽为，

根据题意知：周长，

且当时，代数式取得最小值为，

此时.

故若一个矩形的面积固定为，它的周长是有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为.