Question

26、如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，AD是△ABC外角∠CAG的平分线，CF⊥AD于F．
（1）试说明四边形AECF为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是一个正方形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据∠BAE=∠CAE，∠GAD=∠CAD，得出∠CAE十∠CAD=90°，利用等腰三角形的三线合一得出AE⊥BC，进而求出四边形AECF是矩形．
（2）假设∠BAC=90°，利用△AEC≌△AFC，得出AE=AF，即可得出四边形AECF是正方形．

解答：解：（1）因为∠BAE=∠CAE，∠GAD=∠CAD，
所以2（∠CAE+∠CAD）=180°，
所以∠CAE十∠CAD=90°，
即∠EAD=90°，
因为AB=AC，AE是角平分线，
所以AE⊥BC，
由于CF⊥AD，
所以四边形AECF是矩形．

（2）当∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形时，四边形AECF是正方形，
理由：由于∠BAC=90°，
所以∠CAE=45°，
所以∠CAD=45°，
因为∠AEC=∠AFC=90°，AC=AC，
所以△AEC≌△AFC，
所以AE=AF，
所以四边形ADCE是正方形．

点评：此题主要考查了正方形的判定与矩形的判定以及等腰三角形的性质等知识，此题利用已知条件开放综合培养学生逆向思维，此题比较典型．