Question

如图，抛物线y=x²-bx-5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-bx-5，
∴|OC|=5，
∵|OC|：|OA|=5：1，
∴|OA|=1，
即A（-1，0），
把A（-1，0）代入y=x²-bx-5得
（-1）²+b-5=0，
解得b=4，
抛物线的解析式为y=x²-4x-5；

（2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，-5），设F（x₀，-5），
∴x₀²-4x₀-5=-5，
解得x₀=0（舍去），或x₀=4，
∴F（4，-5），
∴对称轴为x=2，
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，-5），A（-1，0），代入y=kx+b，
得，
解得，
所以，直线FA的解析式为y=-x-1；

（3）存在．…
理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=-x-1与y轴的交点，
∴E（0，-1），
∴P（0，-1），
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x₁，-x₁-1），
∵∠ECF=90°，E（0，-1），C（0，-5），F（4，-5），
∴CE=CF，
∴EP=PF，
∴CP=PF，
∴点P在抛物线的对称轴上，
∴x₁=2，
把x₁=2代入y=-x-1，得
y=-3，
∴P（2，-3），
综上所述，直线AF上存在点P（0，-1）或（2，-3）使△CFP是直角三角形．
分析：（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式；
（2）根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等，设出点F的坐标为（x₀，-5），代入抛物线求出点F的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可；
（3）分①点P与点E重合时，△CFP是直角三角形，②CF是斜边时，过C作CP⊥AF于点P，然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF，从而求出点P在抛物线对称轴上，再根据抛物线的对称轴求解即可．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，（3）中要注意分CF是直角边与斜边两种情况讨论求解．