Question

如图，一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=

t

x

的图象在第一象限内交于A（1，2）、B两点，与x轴交于N点，且OA⊥AB．
（1）求反比例函数解析式．
（2）求N点坐标，并求一次函数解析式．
（3）过点B作BP⊥AB交x轴于P，求S_△BPN．

Answer 1

分析：（1）待定系数法把A点坐标代入反比例函数解析式计算即可得出答案；
（2）利用过A作AM⊥x轴，垂足为M，利用射影定理可以算出N点坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式，然后联立两个函数解析式即可算出B点坐标；
（3）根据题意可以得到△NAO∽△NBP，再根据三角形的面积比等于三角形高的相似比的平方可以计算出答案．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

t

x

的图象在第一象限内交于A（1，2），
∴t=xy=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

；

（2）过A作AM⊥x轴，垂足为M，
∵A（1，2），由射影定理可得AM²=AM•NM，
∴2²=1×NM，
NM=4，
∴N（5，0），
∵一次函数y=kx+b图象经过A（1，2）、B（5，0），
∴

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴一次函数y=-

1

2

x+

5

2

，
把反比例函数解析式与一次函数解析式联立

y= 2 x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得

x=1 y=2

，

x=4 y= 1 2

，
∴B（4，

1

2

）；

（3）过B作BH⊥x轴，
∵B（4，

1

2

），
∴BH=

1

2

，
∵OA⊥AB，BP⊥AB，
∴∠OAB=∠PBN=90°，
∴AO∥PB，
∴△NAO∽△NBP，
∴

S△BPN

S△NAO

=

BH2

AM2

=

1

16

，
∵S_△AON=

1

2

×ON×AM=

1

2

×5×2=5，
∴S_△PBN=

5

16

．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是利用射影定理计算出N点坐标，掌握三角形的面积比等于三角形高的相似比的平方．