Question

已知抛物线y=x²+kx+k-1（-1＜k＜1）．
（1）证明抛物线与x轴总有两个交点；
（2）问该抛物线与x轴的交点分布情况（指交点落在x轴的正、负半轴或在原点等情形），并说明理由；
（3）设抛物线的顶点为C，且与x轴的两个交点A、B，问是否存在以A、B、C为顶点的直角三角形并证明你的结论．（需要画抛物线示意图，请用如下坐标系）

Answer 1

分析：（1）令y=0即x²+kx+k-1=0，根据元二次方程根的判别式，△＞0，即可得出该抛物线与x轴有两个交点．
（2）根据一元二次方程x²+kx+k-1=0根与系数的关系，及k的取值范围可求出，两根之积的正负，判断出抛物线与x轴的交点分布情况．
（3）假设存在符合条件的直角三角形．根据抛物线的对称性可知AB=BC，于是点A，B不可能为Rt△ABC的直角顶点，只有点C可以为Rt△ABC的直角顶点，由抛物线的对称性和直角三角形的性质，可知AB的中点M恰是对称轴与x轴的交点，即CM的长为抛物线顶点的纵坐标的绝对值，根据抛物线y=x²+kx+k-1（-1＜k＜1），可用k表示出顶点坐标，根据一元二次方程x²+kx+k+1=0根与系数的关系可用k表示出两根的值，再根据直角三角形的性质及k的取值范围可求出k的值．

解答：（1）证明：由一元二次方程x²+kx+k-1=0根的判别式，△=k²-4（k-1）=k²-4k+2=（k-2）²＞0，
故该抛物线与x轴有两个交点．

（2）解：设抛物线与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，则x₁，x₂是方程x²+kx+k-1=0的两个实根，
由根与系数的关系得x₁•x₂=k-1，
∵-1＜k＜1，
∴x₁x₂＜0，
∴该抛物线与x轴的两个交点分别落在x轴的正负半轴上．

（3）解：存在符合条件的直角三角形．
证明：如图所示，由抛物线的对称性可知AB=BC，于是点A，B不可能为Rt△ABC的直角顶点，
∴只有点C可以为Rt△ABC的直角顶点，设点C为△ABC的直角顶点，由抛物线的对称性和直角三角形的性质，可知AB的中点M恰是对称轴与x轴的交点，
∴CM的长为抛物线顶点的纵坐标的绝对值．
即CM=|-

(k-2)2

4

|=

(k-2)2

4

．
设A（x₁，0）B（x₂，0），（由（2）可知x₁＜0＜x₂），
则x₁，x₂是方程x²+kx+k+1=0的两个实根，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴AB=x₂-x₁=1-k+1=2-k，
由直角三角形的性质得MC=

1

2

AB，
∴

(k-2)2

4

=

2-k

2

，
∵-1＜k＜1，
则2-k＞0，
∴

2-k

2

=1，
解得k=0，
∴当k=0时存在以C为直角顶点的直角三角形，
故存在符合条件的直角三角形．

点评：此题比较复杂，考查的是一元二次方程与二次函数的关系，及直角三角形的性质，是中学阶段的重点也是难点．