Question

已知关于x的方程（m+2）x²-

5

mx+m-3=0．
（1）求证：方程有实数根；
（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m的值．

Answer 1

分析：（1）分类讨论：当m+2=0时，方程化为2

5

x-5=0，一元一次方程有实数解；当m+2≠0时△=（m+2）²+20，可判断方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根为a，b，根据根与系数的关系得a+b=

5 m

m+2

，ab=

m-3

m+2

，利用a²+b²=3得到（

5 m

m+2

）²-2×

m-3

m+2

=3，然后解方程即可．

解答：（1）证明：当m+2=0时，方程化为2

5

x-5=0，解得x=

5

2

；
当m+2≠0时，△=（-

5

m）²-4（m+2）（m-3）=（m+2）²+20，
∵（m+2）²≥0，
∴△＞0，
即m≠-2时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程有实数根；

（2）解：设方程两实数根为a，b，
则a+b=

5 m

m+2

，ab=

m-3

m+2

，
∵a²+b²=3，
∴（a+b）²-2ab=3，
∴（

5 m

m+2

）²-2×

m-3

m+2

=3，
解得m=0．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．