Question

23、（1）AB、CD是过⊙O内一点P的两条相交弦，请问PA•PB与PC•PD有何关系并说明理由；
（2）若点P在⊙O外，上述结论还成立吗？并说明理由；
（3）若点P在⊙O外，并且A与B重合，PA与⊙O切于点A，结论如何并说明理由．

Answer 1

分析：（1）可以把要探求的四条线段构造到两个三角形中，根据同弧所对的圆周角相等得到两个角对应相等，从而得到相似三角形，再进一步进行探求证明；
（2）同样构造两个三角形，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，再根据两角对应相等，得到两个相似三角形，从而进一步探求；
（3）根据弦切角定理得到角相等，进一步得到两个相似三角形，从而证明结论．

解答：解：（1）有PA•PB=PC•PD成立，
因为连接AC，BD，则∠A=∠D，∠B=∠C，
所以△APC∽△DPB，得到PA•PB=PC•PD．

（2）成立，连接AC，BD，则∠PAC=∠D，∠PCA=∠D．
即△PAD∽△PCB，得到PA•PB=PC•PD．

（3）有PA²=PC•PD成立，
因为PA与⊙O切于点A，
所以∠PAC=∠D，又∠P=∠P，
所以△PAC∽△PDA．
所以PA²=PC•PD．

点评：本题主要考查的了相似三角形判定和性质的应用，上述三个结论实际上分别是相交弦定理、割线定理、切割线定理，掌握它们的证明方法及其运用．