Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）周长20，

【解析】

（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，求出MD＝5，由勾股定理求出BD的长，得出OB的长，再由勾股定理求出OM，即可得出MN的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，

∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO．

∵MN是BD的垂直平分线

∴OD＝OB，

在△DMO和△BNO中，

，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM＝ON．

∵OB＝OD，

∴四边形BMDN是平行四边形．

∵MN⊥BD，

∴四边形BMDN是菱形．

（2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x．

在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，

解得：x＝5．即MB＝5，

∴菱形BMDN的周长为5×4＝20．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝4，

∴．

在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝，

由（1）得：OM＝ON，

∴．