Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，OB=1，∠OBC=60°．

（1）如图1，求直线BC的解析式；

（2）如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PD⊥x轴于点H，交线段AC于点D，直线BG∥AC，交抛物线于点G，点F是直线BC上一动点，FE∥BC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF．当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；

（3）如图2，将△BOC绕点O逆时针旋转至△B′O C′的位置，点B、C的对应点分别为点B′、C′，点B′恰好落在BC上．将△B′O C′沿直线AC平移，得到△B′′O ′ C′′，点B′、C′、O的对应点分别为点B′′、C′′、O ′，连接B ′ B′′、B ′C′′，△B ′B′′C′′是否能为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的C′′的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PE+EF+QF最小值为 +2， E点坐标；（3）能，，，，

【解析】

（1）利用三角函数求出OC的长得到抛物线的解析式，求出图象与x轴的交点，设直线BC解析式为：，即可将点B、C的坐标代入求出答案；

（2）先求出直线AC的解析式，设点P、D的坐标，根据PD最大求得点P的坐标，利用勾股定理的逆定理及对称性得到△ABQ是等边三角形，过点Q作QM⊥x轴于点M，求出点Q的坐标，根据平移规律得到Q ′的坐标，连接P Q ′交AC于点E，再利用勾股定理求出, 得到PE+EF+QF最小值= P Q ′+EF，由此求出答案；

（3）根据点的位置分四种情况进行求解：①当=时，②当=时，③当时，④当时，分别求出点C′′的坐标.

（1）在△BOC 中，OB=1，∠OBC=60°

∴BC=2，OC=，

∴抛物线解析式为：

令y=0，得，

解之得 ， ，

∴A(－3，0)，B（1,0），C（0，），

设直线BC解析式为：，经过B（1,0），C（0，），

∴ ,

得,

∴；

（2）设直线AC解析式为：，经过A(－3，0)，B（1,0），得，

设P点坐标为，则D点坐标为，

∴PD=

当 时，PD有最大值，

∴P点坐标为，

在R△AOC中，可以求出AC=2，AB=4 ，

∴AC2+BC2=12+4=16=AB2

由勾股定理逆定理得，可得∠ACB=90°,

可得∠CAB=30°=∠ABG，

由对称可得，AB=BQ=4, ∠ABQ=30°+30°=60°,

∴△ABQ是等边三角形，

过点Q作QM⊥x轴于点M，

∴MB=4,且OB=1

∴OM=1,QM=2

∴Q点坐标为（－1，－2）

由题意得，四边形BCEF是矩形，可得EF=BC=2，

将Q点沿射线EF方向平移2个单位(向左平移1个单位，向上平移个单位)，可得Q ′的坐标为（－2，－）

连接P Q ′交AC于点E，点E即为所求，

P Q ′=

PE+EF+QF最小值= P Q ′+EF= +2，

直线P Q的解析式为：

联立，可得E点坐标

（3）存在，

∵A(－3，0)，B（1,0），C（0，），

∴OA=3，OB=1，OC=，

∴,,

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=30°，AC=2，

∴,

由旋转得到， ,

∵∥,=，

∴四边形是平行四边形，

①将三角形向上平移，当=时，如图1，延长交y轴于D，

∴四边形是菱形，

∴,

∵,

∴,

∵,

∴， ，

∴OD=OC+CD=,

∴；

②将三角形向下平移，当=时，如图2，则四边形是菱形，

∴

过点作⊥,

∵,

∴=1，,

∴点的横坐标是，纵坐标是，

∴点的坐标是；

③当时，如图3，

则，

∵∠ACB=90°，

∴,

延长交y轴于D，

∵,

∴,,

∴OD=OC+CD=,

∴点的坐标是；

④当时，如图4，过点作⊥,

∴,

∴,

∴点的横坐标是，纵坐标是，

∴点的坐标是，

综上，点的坐标是，，，.