[题目]已知:如图①.在矩形ABCD中.AB=3.AD=4.AE⊥BD.垂足是E．点F是点E关于AB的对称点.连接AF.BF． (1)求AF和BE的长,(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移.设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)．当点F分别平移到线段AB.AD上时.直接写出相应的m的值．(3)如图②.将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AF和BE的长；

（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．

（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

【答案】1）；；（2）；（3）存在，2 或或或

【解析】

（1）利用矩形性质、求解，结合AE ⊥BD利用等面积法求解AE，利用勾股定理求解BE，由轴对称的性质可得答案．

（2）依题意画出图形，如图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；

（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如图3所示，对于各种情形分别进行计算．

解：（1）矩形ABCD，

是点E关于AB的对称点，

（2）由对称点性质可知，

设平移中的三角形为△A′B′F′，

如图2所示： ∠1=∠2．

由平移性质可知，AB∥A′B′，

∠4=∠1，BF=B′F′=．

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠3=∠4，

∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′=，即m=；

②当点F′落在AD上时， ∵AB∥A′B′，

∴∠6=∠2，

∵∠1=∠2，∠5=∠1，

∴∠5=∠6，

A′B′⊥AD，

∴△B′F′D为等腰三角形，

∴B′D=B′F′=，

∴BB′=BD-B′D=

综上：或

（3）存在．

理由如下：假设存在，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如图3-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，

∠2=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，

∴∠3=∠Q，

∴A′Q=A′B=AB=3，

∴F′Q=F′A′+A′Q=

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：

∴DQ=BQ-BD=；

②如答图3-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ， ∴∠2=∠P，

同理 ∠1=∠2，

∴∠1=∠P，

∴BA′∥PD，

∵PD∥BC，

∴此时点A′落在BC边上．

∵PD∥BC，

∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴BQ=A′Q，

∴F′Q=F′A′-A′Q=-BQ．

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：

解得：

∴DQ=BD-BQ；

③如图3-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．

∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，

同理∠1=∠2，∠4=．

∴∠A′QB=∠A′BQ，

∴A′Q=A′B=3，

∴F′Q=A′Q-A′F′

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：

∴DQ=BD-BQ；

④如图3-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．

同理∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴BQ=BA′=3，

∴DQ=BD-BQ．

综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形； DQ的长度分别为或或或．

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