Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．

（1）证明△DPC∽△AEP；
（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)详见解析；（2）AE=；(3)DP=8.

试题分析：(1)两个三角形都是直角三角形，所以有一角相等，再根据图中的条件，再求出一对对应角相等，就可以得到△DPC∽△AEP；（2）在△CDP中，根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可知PC=8,再根据勾股定理得PD=,然后利用相似三角形的对应边的比相等，即可求出AE的值；（3）因为相似三角形的周长比等于相似比，所以只要△DPC的边CD等于△PAE的边AP的2倍，那么△DPC的周长等于△AEP周长的倍.
试题解析：（1）在△DPC、△AEP中，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，∴∠1＝∠3 
又∠A＝∠D＝90°，∴△DPC∽△AEP
（2）∵∠2＝30°，CD＝4，∴PC＝8，PD＝
由(1)得：,所以,所以AE=.
（3）存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，
∵相似三角形周长的比等于相似比，设，解得DP＝8