Question

【题目】如图，已知中，，D是线段AC上一点（不与A,C重合）,连接BD，将沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若是直角三角形，则AF的长为_________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

分别讨论∠E=90°，∠EBF=90°两种情况：①当∠E=90°时，由折叠性质和等腰三角形的性质可推出△BDC为等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，进而得到∠F=45°，推出△ADF为等腰直角三角形即可求出斜边AF的长度；②当∠EBF=90°时，先证△ABD∽△ACB，利用对应边成比例求出AD和CD的长，再证△ADF∽△CDB，利用对应边成比例求出AF.

①当∠E=90°时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90°，如图所示，

在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°

∴∠ABC=∠BAC==67.5°

∵∠BDC=90°，∠C=45°

∴△BCD为等腰直角三角形，

∴CD=BC=，∠DBC=45°

∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°

∴∠EBF=45°

∴∠F=90°-45°=45°

∴△ADF为等腰直角三角形

∴AF=

②当∠EBF=90°时，如图所示，

由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45°，

∵∠BAD=∠CAB

∴△ABD∽△ACB

∴

由情况①中的AD=，BD=，

可得AB=

∴AD=

∴CD=

∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°

∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°

∴∠F=22.5°=∠DBC

∴EF∥BC

∴△ADF∽△CDB

∴

∴

∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD

∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°

∴∠F不可能为直角

综上所述，AF的长为或.

故答案为：或.