Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）

（1）填空：c=　 　；（用含b的式子表示）

（2）b＜4．

①求证：抛物线与x轴有两个交点；

②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），求b的取值范围；

（3）平移抛物线，使其顶点P落在直线y=3x﹣2上，设抛物线与直线的另一个交点为Q，C在该直线下方的抛物线上，求△CPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2b﹣4；（2）①详见解析；②﹣1＜b≤0；（3）△CPQ面积的最大值为．

【解析】

（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式求解即可；

（2）①由（1）可知抛物线的解析式为y＝x2＋bx＋2b4，然后证明△＞0即可；

②当点B在点A的右侧时，0≤＜；当点B在点A的左侧时，4.5＜≤4，从而可求得b的取值范围；

（3）以平移后抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系，则在新坐标系内抛物线的解析式为y＝x2，直线的解析式为y＝3x．过点C作CD∥y轴，交直线于点D．设点C的坐标为（x，x2），则点D的坐标为（x，3x），则DC＝3xx2，然后建立三角形的面积与x的函数关系式求解即可．

解：（1）将点A的坐标代入y=x2+bx+c得：4﹣2b+c=0，

∴c=2b﹣4，

故答案为：2b﹣4；

（2）①由（1）可知抛物线的解析式为y=x2+bx+2b﹣4，

∴△=b2﹣4（2b﹣4）=b2﹣8b+16=（b﹣4）2，

又∵b＜4，

∴△＞0，

∴抛物线与x轴有两个交点；

②当点B在点A的右侧时．

∵线段AB上恰有5个整点，

∴0≤＜，即0≤﹣b＜，

∴﹣1＜b≤0；

当点B在点A的左侧时，

∵线段AB上恰有5个整点，

∴﹣4.5＜≤﹣4，即﹣4.5＜﹣b≤﹣4．

∴8≤b＜9．

解得：﹣1＜b≤0或8≤b＜9，

又∵b＜4，

∴b的取值范围是：﹣1＜b≤0；

（3）如图所示：

以平移后抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系，则在新坐标系内抛物线的解析式为y=x2，直线的解析式为y=3x．

过点C作CD∥y轴，交直线于点D，

将y=3x代入y=x2得3x=x2，解得：x=0或x=3，

设点C的坐标为（x，x2），则点D的坐标为（x，3x），则DC=3x﹣x2，

∴△PQC的面积=DC|xQ﹣xP|=×3×（3x﹣x2）=﹣x2+=﹣（x﹣）2+，

∴△CPQ面积的最大值为．