Question

如图，函数和的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P都求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A为两函数图象的交点，A点横坐标为2，把A点的横坐标代入y=x得，y=×2=1，
∴A（2，1），
设反比例函数的解析式为y=（k≠0），把A（2，1）代入得，
1=，k=2，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）由，
解得，，
所以点B的坐标为：（-2，-1）．
解法二：由对称性，A与B关于点O对称；
∵A（2，1），∴B（-2，-1）

（3）作BC⊥x轴，垂足为C，
∵B（-2，-1），∴OC=2，BC=1，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OB==．
分三种情况讨论：
①当OB=OP时，P₁（，0），P₂（-，0）；
②当OB=BP₃时，OP₃=2OC=4，∴P₃（-4，0）．
③作OB的垂直平分线交OB于D．
设P₄（x，0），则OP₄=BP₄=-x，CP₄=2+x，BC=1．
（2+x）²+1²=（-x）²，
x=-∴p₄（-，0），
综上所述，符合条件的P点坐标为：
P₁（，0）、P₂（-，0）、P₃（-4，0）、p₄（-，0）．
分析：（1）把A点的横坐标代入正比例函数的解析式求出A点的坐标，再用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）因为正比例函数与反比例函数有两个交点，解关于两函数解析式组成的方程组即可求出B点的坐标；
（3）作BC⊥x轴，垂足为C，由勾股定理求出OB的长，再分OB=OP，OB=BP，BP=OP三种情况讨论，分别求出P点坐标即可．
点评：此题综合性较强，涉及到一次函数、反比例函数图象上点的坐标特点，及等腰三角形的性质，在解（3）时由于不明确等腰三角形的腰，故应分三种情况讨论，不要漏解．