Question

【题目】如图，抛物线与x轴的交点分别为A、B，与y轴的负半轴交于点C．已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），点B的坐标（3，0）．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）在该函数图象上能否找到一点P，使PO=PC？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3；(2) 存在，P点坐标为（1+，﹣）或（1﹣，﹣）．

【解析】

（1）可设出抛物线的顶点式，再利用B点坐标可求得抛物线解析式；

（2）由PO=PC可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式则可求得P点坐标．

（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4．

∵抛物线过点B（3，0），∴0=a（3﹣1）2﹣4，解得：a=1，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；

（2）存在．

∵PO=PC，∴点P在线段OC的垂直平分线上，在y=x2﹣2x﹣3中，令x=0可得：y=﹣3，∴C（0，﹣3），∴P点纵坐标为﹣，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=﹣可得：x2﹣2x﹣3=﹣，解得：x=1±，∴P点坐标为（1+，﹣）或（1﹣，﹣）．