Question

（2003•黄浦区一模）如图已知⊙O及弦BC．
（1）若D是弧BC的中点，A是圆上一点，AD交BC于E，当A在⊙O上运动时，是否总能满足AB•AC=AE•AD，请作出判断，并证明你的结论；
（2）A在⊙O何处时，△ABC为等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证AB•AC=AE•AD，可以证明△ABE∽△ADC得出；
（2）在同圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，A可在弦BC的垂直平分线与⊙O的交点上；或以B为圆心，以BC为半径作弧交⊙O于A．
解答：解：（1）满足．（2分）证明如下：
连接DC
∵D是弧BC的中点
∴∠BAE=∠DAC（4分）
∵∠ABE=∠ADC（5分）
∴△ABE∽△ADC（7分）
∴
即AB•AC=AE•AD（9分）

（2）A可在弦BC的垂直平分线与⊙O的交点上（10分）；或以B为圆心，以BC为半径作弧交⊙O于A（11分）
理由如下：若AD垂直平分BC，则弧AB=弧AC，所以AB=AC，这时△ABC为等腰三角形；
若以B为圆心，以BC为半径作弧交⊙O于A，则AB=BC，这时△ABC为等腰三角形．（13分）
点评：本题考查相似三角形的判定和性质，及等腰三角形的判断，圆心角、弧、弦的关系等知识点的综合运用．