Question

【题目】如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，点在轴上．是轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于，两点．

（1）求的值及这个二次函数的解析式；

（2）若点的横坐标，求的面积；

（3）当时，求线段的最大值；

（4）若直线与二次函数图象的对称轴交点为，问是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)；(3) DE的最大值为；(4)存在，点的坐标为或()或(，0)

【解析】

(1)根据直线 经过点A(3，4)求得m=1，根据二次函数图象的顶点坐标为M(1，0)，且经过点A(3，4)即可求解；
(2)先求得点的坐标，点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解；

(3)由题意得，则根据二次函数的性质即可求解；

(4)分两种情况：D点在E点的上方、D点在E点的下方，分别求解即可．

(1)∵直线经过点，
∴，

∴，
∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为：
∵抛物线经过，

∴，

解得：，
∴二次函数的解析式为：；
(2)把代入 得，
∴点的坐标为，
把代入得，
∴点D的坐标为(2，3)，
∴，

∴；
(3)由题意得，
∴

∴当(属于 范围)时，DE的最大值为；
(4) 满足题意的点P是存在的，理由如下：

∵直线AB：，

当时，，

∴点N的坐标为(1，2)，

∴，
∵要使四边形为平行四边形只要，
∴分两种情况：
①D点在E点的上方，则
，
∴，
解得：(舍去)或；
②D点在E点的下方，则

，

∴，

解得：或

综上所述，满足题意的点P是存在的，点P的坐标为或()或(，0) ．