Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，把抛物线y=x²向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）²+k．所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）写出h、k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）作OM∥BC交AC于点M，求出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到h、k的值；
（2）根据（1）题所得的抛物线的解析式，即可得到A、C、D的坐标，进而可求出AC、AD、CD的长，然后再判断△ACD的形状；
（3）分别求出直线OM、直线AC的解析式，然后联立两解析式即可得出交点M的坐标．

解答：解：（1）∵y=x²的顶点坐标为（0，0），
∴y=（x-h）²+k的顶点坐标D（-1，-4），
∴h=-1，k=-4．

（2）由（1）得y=（x+1）²-4，
当y=0时，（x+1）²-4=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
故可得点A坐标为（-3，0），点B坐标为（1，0），
当x=0时，y=（x+1）²-4=（0+1）²-4=-3，
则C点的坐标为（0，-3），
作抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，

在Rt△AED中，AD²=2²+4²=20，
在Rt△AOC中，AC²=3²+3²=18，
在Rt△CFD中，CD²=1²+1²=2，
∵AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形；

（3）
根据B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=3x-3，
∵OM∥BC，
∴可得OM的解析式为：y=3x，
根据A、C的坐标可得直线AC的解析式为：y=-x-3，
联立直线OM与AC的解析式：

y=3x y=-x-3

，
解得：

x=- 3 4 y=- 9 4

，
即可得点M的坐标为（-

3

4

，-

9

4

）．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了函数图象的几何变换、待定系数法求一次函数解析式、两直线的交点坐标，解答本题的难点在于点的坐标与线段长度之间的转换，注意各知识点之间的融会贯通，难度较大．