Question

若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然是

37

和

15

．

Answer 1

分析：数码相同的三位数是111的倍数，数码相同的两位数是11的倍数，对111分解质因数为111=3×37，两个数的乘积是111的倍数，再乘以一个1到9的数，这个37是两个数之一，这样另一个数就是3乘以一个1到9的数，两个自然数的差是11的倍数，说明37与另一个两数除以11余数相同，37除以11余数是4，3n除以11余数是4（n代表1～9的任意一个数字），只有n=5时符合条件，由此问题得以解决．

解答：解：设这两个两位数分别是a、b，由题意得，
a-b=11n，ab=111m，（m、n代表1～9的任意一个数字），
由ab=111m=3×37×m，
可知a=37（或b=37），b=3m（或a=3m），
由a-b=11n，可知a、b被11除的余数相同，
37除以11余数是4，3m除以11余数是4，只有当m=5时成立，因此得出另一个两位数为15．
故答案为37，15．

点评：此题利用两个数的差与积的数字特点，巧用分解质因数，结合数的整除与有余数的除法解决问题．