Question

（1）如图所示，分别以四边形的四个顶点为圆心，半径R作圆（这些圆互不相交），把这些圆与四边形的公共部分（即圆中阴影部分）剪下来拼在一起，你有何发现？试用有关数学知识进行解释．
（2）若将（1）中的四边形换成五边形，则阴影部分的面积为多少？若换成六边形呢？若换成n边形呢？

Answer 1

解：（1）圆与四边形的公共部分（即圆中阴影部分）剪下来拼在一起，恰好拼成一个圆面．因为剪下来的这些扇形半径相等，且圆心角的度数和为四边形的内角和360°，所以圆与四边形的公共部分（即圆中阴影部分）剪下来拼在一起，恰好拼成一个圆面．

（2）若将（1）中的四边形换成五边形，五边形内角和为540°，则阴影部分的面积为πR²=1.5πR²，
若换成六边形，六边形内角和为720°，则阴影部分的面积为 πR²=2πR²，
若换成n边形，n边形的内角和为（n-2）×180°，阴影部分的面积为πR²=πR²．
分析：（1）如图，可根据多边形内角与外角的知识来解答．图中圆与四边形的公共部分恰好能组成一个新的圆，因为扇面的半径相等且圆心角的度数为360°，不难解答．
（2）换成五边形，也是1.5个圆．因为扇面半径是相等的，故换成五边形的阴影部分面积也是1.5πR²．
点评：本题考查的是多边形内角与外角的知识，难度属中等，只要找准规律不难解答．