Question

【题目】已知：如图，抛物线y ax2 - 2ax 3a交 x 轴正半轴于点 A，负半轴于点 B，交 y 轴于点C，tan∠OBC=3．

(1)求 a 值；

(2)点 P 为第一象限抛物线上一点，连接 AC、PA、PC，若点 P 的横坐标为 t， PAC 的面积为S，求 S与t的函数解析式，（请直接写出自变量 t 的取值范围）；

(3)在（2）的条件下，过点 P 作 PD∥y 轴交 CA 延长线于点 D，连接 PB，交 y 轴于点 E，点 Q 为第二象限抛物线上一点，连接 QE 并延长分别交 x 轴、抛物线于点 N、F，连接 FD，交 x 轴于点 K ，当E 为 QF 的中点且 FN=FK 时，求直线 DF 的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由抛物线与x轴相交，令，求出、，再根据求出点C的坐标，代入抛物线即可求出．

（2）根据题意作图，过点P作轴分别交延长线、轴于点，过点C作交延长线于点H，得出点，再解出直线AC的解析式和PN的代数式，运用三角形的面积公式即可求出 PAC的面积．

（3）根据题意作图，延长PD交轴于点G，由题（2）可得，求出，得到，连接DE，得出四边形EOGD是矩形，再根据，得到，因而，再过点F作，可得．过点Q作交RE延长线于点H，得到，，，因而得出，再根据点F与点Q的坐标代数式，求得、，即可求出直线DF解析式．

（1）解：∵抛物线与x轴相交，

∴令，，

解得：，，

，，

∴，，，

（2）过点P作轴分别交延长线、轴于点，

过点C作交延长线于点H，点．

解出直线AC的解析式，

，

∴

（3）延长PD交轴于点G，，

，，

∵，

∴，连接DE，

∴四边形EOGD是矩形，

∴，

∵，

∴

∴，

过点F作，

∴．

过点Q作交RE延长线于点H，，，，

∴，，，

∴，，

，，（舍），

∴，，设直线DF的解析式为，

，，

∴直线DF解析式为．