Question

如图，直线l₁与l₂相交于点A，点B、C分别在直线l₁与l₂上，且BC⊥l₂，垂足为C点．点D在直线l₂上，AC=4，BC=3．
（1）画出⊙O，使⊙O经过点B且与直线l₂相切于点D（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）是否存在这样的⊙O₁，既与直线l₂相切又与直线l₁相切于点B？若存在，求出⊙O₁的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作BD的垂直平分线与过点D作直线l₂的垂线，交点即为圆心，继而可画出⊙O；
（2）设⊙O₁切直线l₂于点E，连接O₁B，O₁E，过点O₁作O₁F⊥BC于点F，易证得四边形ECFO₁是矩形，△BO₁F∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）如图1：①连接BD，作BD的垂直平分线MN，
②过点D作直线l₂的垂线，交直线MN于点O，
③以点O为圆心，OD长为半径作圆，
则⊙O即为所求的圆；

（2）存在．
如图2：设⊙O₁切直线l₂于点E，连接O₁B，O₁E，过点O₁作O₁F⊥BC于点F，
∵BC⊥l₂，
∴∠O₁EC=∠ECF=∠O₁FD=90°，∠O₁BA=90°，
∴四边形ECFO₁是矩形，
∴FC=O₁E，
∵∠BAC+∠ABC=90°，∠O₁BF+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠O₁BF，
∵∠O₁FB=∠ACB=90°，
∴△BO₁F∽△ABC，
∴

BF

AC

=

O1B

AB

，
设⊙O₁的半径为x，
∵AC=4，BC=3，
∴BF=BC-CF=3-x，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=5，
∴

3-x

4

=

x

5

，
解得：x=

5

3

，
∴⊙O₁的半径为

5

3

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．