Question

在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边与大矩形的一条边平行．
（Ⅰ）如图①放置时，两个小矩形周长和（两个小矩形重叠的边要重复计算）为　　．
（Ⅱ）怎样放置才能使两个小矩形周长和最大？在图②中画出图形，其最大值为　　．

Answer 1

  

试题分析：（Ⅰ）根据相似多边形对应边成比例列式求出小矩形的宽，然后根据周长公式进行计算即可得解；
（Ⅱ）根据放置方式的不同，分①两个小矩形都“竖放”时，与（Ⅰ）相同，②两个小矩形都“横放”，再分都横向放置，一上一下放置两种情况，先表示出一个矩形的长与宽，再根据大矩形是1×3的规格表示出另一个矩形的长与宽，然后根据矩形的周长公式列式整理，即可得解；③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，先表示出一个矩形的长与宽，再表示出另一个矩形的长与宽，然后根据矩形的周长公式列式整理，然后根据大矩形是1×3的规格求出a的取值范围，再根据一次函数的增减性解答．
解：（Ⅰ）设小矩形的宽为x，
∵小矩形与大矩形相似，
∴=，
解得x=，
所以，两个小矩形周长和=2×2（1+）=；
（Ⅱ）

两个矩形的放置方式情况有如下几种：
①两个小矩形都“竖放”，在这种放法下，周长和最大的两个小矩形边长分别为1和，周长和的最大值为；

②两个小矩形都“横放”，

这时两个小矩形的周长和的最大值为：
2（a+3a）+2[1﹣a+3（1﹣a）]=8a+2（1﹣a+3﹣3a）=8a+8﹣8a=8；
③两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，这时两个小矩形的周长和为：
2（a+3a）+2（3﹣a+）=8a+6﹣2a+2﹣a=8+，

因为0＜3a≤1，即0＜a≤，
故当a=时，此时两个小矩形的周长和最大为8+=．
故答案为：；．
点评：本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，（2）要根据放置方式的不同进行讨论求解．