Question

设S₁=|x₁|，S₂=|S₁-x₂|，…，S_n=|S_n-1-x_n|，将1，2，3，…，2011这些数适当地分配给x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₁₁，使得S₂₀₁₁尽量大．那么S₂₀₁₁最大是多少？

Answer 1

分析：首先由非0的正整数x、y、z，总有|x-y|小于x与y中的较大值，可得||x-y|-z|小于{x、y、z}中的最大值．继而可得S₂₀₁₁小于x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₁₁中的最大值，又由数S₂₀₁₁的奇偶性与和x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₁=1+2+…+2011相同，可得为偶数，即可求得答案．

解答：解：法一：∵非0的正整数x、y、z，总有|x-y|小于x与y中较大的那个，
∴|x-y|小于{x，y}中最大值．
∴||x-y|-z|小于|x-y|或z中的较大值，
∴||x-y|-z|小于{x、y、z}中的最大值．
∴S₂₀₁₁小于x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₁₁中的最大值，
又∵数S₂₀₁₁的奇偶性与和x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₁=1+2+…+2011=2011×1006的奇偶性相同，为偶数；
∴它不能等于2011，最大可能等于2010；
法二：∵对于任意四个连续的自然数n，n+1，n+2，n+3，
由|||n-（n+2）|-（n+3）|-（n+1）|=0，
∴||…|3-5|-6|-4|-••|-（4k+3）|-（4k+5）|-（4k+6）|-（4k+3）|-…|2007|-2009|-2010|-2008|-2|-2|-2011|=2010，
∴S₂₀₁₁最大值是2010．

点评：此题考查了绝对值函数的最值问题．此题难度较大，解题的关键是掌握非0的正整数x、y、z，总有||x-y|-z|小于{x、y、z}中的最大值知识．