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    精英家教网将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．
    （1）如果正方形边长为2，M为CD边中点．求EM的长．
    （2）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；
    （3）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．
    分析：（1）设DE为x，则根据折叠知道DM=1，EM=EA=2-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，继而求出EM的长；
    （2）由（1）可得出DE，DN，EM的长，从而求出它们的比值；
    （3）△CMG的周长与点M的位置无关．设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4a2-x2=4ay，结合△CMG的周长，就可以判断△CMG的周长与点M的位置无关．
    解答：证明：（1）DE为x，则DM=1，EM=EA=2-x，
    在Rt△DEM中，∠D=90°，
    ∴DE2+DM2=EM2
    x2+12=（2-x）2
    x=
    3
    4
    ，
    ∴EM=
    5
    4
    ．

    （2）设正方形的边长为2，由（1）知，DE=
    3
    4
    ，DM=1，EM=
    5
    4

    ∴DE：DM：EM=3：4：5；

    （3）△CMG的周长与点M的位置无关．
    证明：设DM=x，DE=y，则CM=2a-x，EM=2a-y，
    ∵∠EMG=90°，
    ∴∠DME+∠CMG=90°．
    ∵∠DME+∠DEM=90°，
    ∴∠DEM=∠CMG，
    又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
    ∴
    CG
    DM
    =
    CM
    DE
    =
    MG
    EM
    即
    CG
    x
    =
    2a-x
    y
    =
    MG
    2a-y
    ，
    ∴CG=
    x(2a-x)
    y
    ，MG=
    (2a-x)(2a-y)
    y
    ，
    △CMG的周长为CM+CG+MG=
    4a2-x2
    y

    在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2
    即x2+y2=（2a-y）2
    整理得4a2-x2=4ay，
    ∴CM+MG+CG=
    4ay
    y
    =4a．
    所以△CMG，的周长为4a，与点M的位置无关．
    点评：本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．
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    A、7：24：25B、3：4：5C、5：12：13D、8：15：17

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