Question

【题目】已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1， ）．
（1）求点P，Q的坐标；
（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．
①求抛物线C′的解析式；
②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2

∴顶点P（1，0），

∵当x=0时，y=1，

∴Q（0，1）

（2）

解：①设抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+m，

∴Q′（0，m）其中m＞1，

∴OQ′=m，

∵F（1， ），

过F作FH⊥OQ′，如图：

∴FH=1，Q′H=m﹣ ，

在Rt△FQ′H中，FQ′2=（m﹣ ）2+1=m2﹣m+ ，

∵FQ′=OQ′，

∴m2﹣m+ =m2，

∴m= ，

∴抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+ ，

②设点A（x0，y0），则y0=x02﹣2x0+ ，

过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，

连接FP，

∵F（1， ），P（1，0），

∴FP⊥x轴，

∴FP∥AN，

∴∠ANF=∠PFN，

连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线，

∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，

∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，

根据勾股定理，得，AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2，

∴（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2=（x ﹣2x0+ ）+y ﹣y0=y ，

∴AF=y0，

∴y0=y0﹣n，

∴n=0，

∴N（x0，0），

设直线Q′F的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+ ，

由点N在直线Q′F上，得，0=﹣ x0+ ，

∴x0= ，

将x0= 代入y0=x ﹣2x0+ ，

∴y0= ，

∴A（ ， ）

【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，线段的垂直平分线的判定和性质，解本题的关键是灵活运用勾股定理．（1）令x=0，求出抛物线与y轴的交点，抛物线解析式化为顶点式，求出点P坐标；（2）①设出Q′（0，m），表示出Q′H，根据FQ′=OQ′，用勾股定理建立方程求出m，即可．②根据AF=AN，用勾股定理，（x﹣1）2+（y﹣ ）2=（x2﹣2x+ ）+y2﹣y=y2 ， 求出AF=y，再求出直线Q′F的解析式，即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用线段垂直平分线的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．