Question

已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；
③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）①2，② ，③（2）①2，②平行四边形，证明见解析

解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，
∴O′A=OA=2；
②当经过圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A．OA．O′B，OB，OO′

∵△OO′A△OO′B为等边三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
∴==；
③如图3所示，连接OA，OB，

∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，
∴OE=OA•sin60°=．
（2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，
过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，
即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，

∵AB∥CD，
∴EF垂直平分AB和CD，
根据垂径定理及折叠，可知PH=PE，PG=PF，
又∵EF=4，
∴点O到AB．CD的距离之和d为：
d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，
②如图5，当与不平行时，
四边形是平行四边形．
证明如下：
设O′O″为和所在圆的圆心，
∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，
∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点
∵折叠后的与所在圆外切，
∴连心线O′O″必过切点P，
∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，
∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PM=ON，
∴四边形OMPN是平行四边形．

（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度；
②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可；
③如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．