Question

如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．
（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形：
①________∽_________，②________∽________，选择其中一对加以证明；
（2）①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由；
②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三对相似；
选△DAM∽△MBN，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠ADM=90°-∠AMD，
∵DM⊥MN，
∴∠BMN=180°-90°-∠AMD=90°-∠AMD，
∴∠ADM=∠BMD，
∴△DAM∽△MBN；

选△DAM∽△DMN，
证明：延长NM交DA的延长线于E点，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∴∠EAM=∠B=90°，
又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，
∴△AME≌△BMN，
∴EM=MN，
又∵DM⊥MN，
∴DE=DN，
∴∠ADM=∠NDM，
又∵∠DAM=∠DMN=90°，
∴△DAM∽△DMN；

选△DAM∽△MBN，
证明：延长MN交DA的延长线于E点，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∴∠EAM=∠B=90°，
又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，
∴△AME≌△BMN，
∴EM=MN，∠E=∠MNB，
又∵DM⊥MN，
∴DE=DN，
∴∠E=∠DNM，
∴∠DNM=∠MNB，
又∵∠DMN=∠B=90°，
∴△DMN∽△MBN；

（2）①如图2，AM=t，MB=5-t，BN=t（0＜t＜5），
分两种情况：（Ⅰ）当∠1=∠3时，△DAM∽△MBN，
∴，
∴，
解得：t=，
（Ⅱ）当∠2=∠3时，△DAM∽△NBM，
∴，
∴AM•BN=AD•BM，
∴t×t=3（5-t），
解得：t₃=-3，t₄=--3（不合题意舍去），
∴当t=时，△DAM∽△MBN；当t=-3时，△DAM∽△NBM．

②分四种情况：（Ⅰ）当∠1=∠3=∠6时，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，
由，
得：BN=，
∴CN=，
由，得：CN•MB=DC•BN，
∴-（5-t）=5-，
化简得：t²-10t+9=0，解得：t₁=1，t₂=9（不合题意舍去），a=，
（Ⅱ）当∠1=∠3=∠5时，
∵∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠6=90°，（与已知条件矛盾）
所以此时不存在．
（Ⅲ）当∠2=∠3=∠6时，
方法一：∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠6=90°，（与已知条件矛盾）所以此时不存在．
方法二：由，
得：BN=，
∴CN=，
由，得：CN•MB=DC•BN，
∴（5-t）=5-，
解得：t=5（不合题意舍去），所以此时不存在．
（Ⅳ）当∠2=∠3=∠5时，△DAM∽△NBM∽△DCN，
由（Ⅲ）得BN=，
∴CN=，
由，得：CN•NB=DC•BM，
∴-=5（5-t），
化简得：5t²-18t+45=0方程没有实数根，所以此时不存在．
综上所述：当a=时，△DAM∽△MBN∽△DCN．
分析：（1）首先可得有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三对相似；然后选择其中的一对证明即可，注意应用矩形的性质，特别是同角或等角的余角相等的性质的应用；
（2）①如图2可得AM=t，MB=5-t，BN=t（0＜t＜5），然后分两种情况：（Ⅰ）当∠1=∠3时，△DAM∽△MBN与（Ⅱ）当∠2=∠3时，△DAM∽△NBM去分析根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解方程即可求得答案；
②分四种情况去分析：（Ⅰ）当∠1=∠3=∠6时，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，（Ⅱ）当∠1=∠3=∠5时，（Ⅲ）当∠2=∠3=∠6时，（Ⅳ）当∠2=∠3=∠5时，△DAM∽△NBM∽△DCN，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一元二次方程的解法，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．