Question

【题目】如图①，在四边形中，于点，，点为中点，为线段上的点，且．

（1）求证：平分；

（2）若，连接，当四边形为平行四边形时，求线段的长；

（3）若点为的中点，连接、（如图②），求证：．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）由知 ，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据∠MAB+∠ABC＝∠EBC+∠ACB知∠MAB＝∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE＝∠MAB+∠ABN＝∠MNB＝45°可得证；

（2）设BM＝CM＝MN＝a，知DN＝BC＝2a，证△ABN≌△DBN得AN＝DN＝2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得出答案；

（3）F是AB的中点知MF＝AF＝BF及∠FMN＝∠MAB＝∠CBD，再由，即得△MFN∽△BDC，即可得证．

解：（1）如下图所示：

∵，

∴，

∵为的中点，

∴

在中，，

在中，，

∴，

又∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴，，

∴，即平分；

（2）如下图所示：

设，

∵四边形是平行四边形，

∴，

在和中，

∵，

∴≌（），

∴，

在中，由可得，

解得：（负值舍去），

∴；

（3）∵是的中点，

∴在中，，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴∽．

∴．