Question

提出问题：小明是个爱思考的学生，在学习了三角函数后小明发现：
sin90°=1，sin45°=

2

2

，90°是45°的两倍，但三角函数值却是

2

倍；
sin30°=

 

，sin60°=

 

，60°是30°的两倍，但三角函数值却是

 

倍，
考虑到cos45°，cos30°的三角函数值，估计sin2α=2sinαcosα，代入检验发现以上两组角度都符合．
解决问题：那么如何证明sin2α=2sinαcosα呢？
小明思考再三，发现在△ABC中（图2），高AD=ABsinB，可得S△ABC=

1

2

BC•ABsinB，
利用这个结论证明上述命题结论．聪明的你也能解决这个问题吗？
如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，设∠BAD=α，求证：sin2α=2sinαcosα．
推广应用：解决了以上问题后，小明思考再三，终于发现了sin（α+β）与sinα，cosα，sinβ，cosβ的关系，
你能结合图3证明出自己所猜想的sin（α+β）与sinα，cosα，sinβ，cosβ的关系吗？
并利用上述关系求出sin75°的值（保留根号）．

Answer 1

分析：把30°，60°的正弦值代入并计算即可填空；
解决问题：根据题目信息，利用角2α与α表示△ABC的面积，S_△ABC=2S_△ABD，然后整理，再根据余弦定义，余弦=邻边：斜边，进行代换即可证明；
推广应用：证明思路与解决问题相同，利用角α与β表示△ABD的面积，S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，然后整理，再根据余弦定义，余弦=邻边：斜边，进行代换即可证明，把75°分成30°与45°的和，然后把特殊角的三角函数值代入计算即可．

解答：提出问题：
sin30°=

1

2

，sin60°=

3

2

，60°是30°的两倍，但三角函数值却是

3

倍；（3分）

解决问题：如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，设∠BAD=α．
求证：sin2α=2sinαcosα，
证明：根据题目信息，S_△ABC=

1

2

AB•ACsin2α，S_△ABD=

1

2

AB•ADsinα，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴S_△ABC=2S_△ABD，
∴

1

2

AB•ACsin2α=2×

1

2

AB•ADsinα，
即sin2α=2sinα×

AD

AC

，
在Rt△ADC中，

AD

AC

=cosα，
∴sin2α=2sinαcosα；（3分）

推广应用：结论：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，（1分）
证明：S_△ABD=

1

2

AB•ADsin（α+β），S_△ABC=

1

2

AB•ACsinα，S_△ACD=

1

2

AC•ADsinβ，
∵S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
∴

1

2

AB•ADsin（α+β）=

1

2

AB•ACsinα+

1

2

AC•ADsinβ，
即sin（α+β）=sinα×

AC

AD

+sinβ×

AC

AB

，
在Rt△ACD中，

AC

AD

=cosβ，
在Rt△ABC中，

AC

AB

=cosα，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
并利用上述关系求出sin75°的值（保留根号）．
sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 +  6

4

．（1分）

点评：本题通过题目提供信息考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，读懂题目信息并根据信息表示出三角形的面积是解题的关键．