Question

如图，AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于点F，已知∠ACB=60°，∠ABC=45°．猜测DF与AC间有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析：根据AD⊥BC，∠ABC=45°，易求∠BAD=45°，从而可得AD=BD，再根据∠ADC=90°，∠ACB=60°，易求∠DAC=30°，而∠AEB=90°，易求∠AFE=60°，那么∠BFD=60°，也就是∠DBF=30°，从而可求∠ACD=∠BFD，利用AAS可证△BDF≌△ACD，从而有BF=AC，在Rt△BDF中，易知∠DBF=30°，根据30°的角所对的便等于斜边的一半，可得DF=

1

2

BF，
进而有DF=

1

2

AC．

解答：解：DF=

1

2

AC．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=BD，
∵∠ADC=90°，∠ACB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°，
∴∠BFD=∠AFE=60°，
∴∠ACD=∠BFD，
在△BFD和△ACD中，∠ACD=∠BFD，∠ADC=∠BDF=90°，BD=AD，
∴△BDF≌△ACD，
∴BF=AC，
在Rt△BDF中，∠BFD=60°，那么∠DBF=30°，
∴DF=

1

2

BF，
∴DF=

1

2

AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是求出∠BFD=60°，进而证明△BDF≌△ACD．